“等”对“不等”的启示
对于解集非空的一元二次不等式的求解，我们常用“两根之间”、“两根之外”这类简缩语来说明其结果，同时也表明了它的解法．这是用“等”来解决“不等”的一个典型例子．从表面上看，“等”和“不等”是对立的，但如果着眼于“等”和“不等”的关系，会发现它们之间相互联系的另一面．设ｍ、ｎ是代数式，我们把等式ｍ＝ｎ叫做不等式ｍ＜ｎ，ｍ≤ｎ，ｍ＞ｎ、ｍ≥ｎ相应的等式．我们把一个不等式与其相应的等式对比进行研究，发现“等”是“不等”的“界点”、是不等的特例，稍微深入一步，可以从“等”的解决来发现“不等”的解决思路、方法与技巧．本文通过几个常见的典型例题揭示“等”对于“不等”在问题解决上的
启示．
1．否定特例，排除错解
解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点是它的相应等式（方程）的解或者是它的定义区间的端点（这里我们把＋∞、－∞也看作端点）．因此我们可以通过端点的验证，否定特例，排除错解，获得解决问题的启示．
例1 满足ｓｉｎ（ｘ－π／4）≥1／2的ｘ的集合是（）．
ａ．｛ｘ｜2ｋπ＋5π／12≤ｘ≤2ｋπ＋13π／12，ｋ∈ｚ｝
ｂ．｛ｘ｜2ｋπ－π／12≤ｘ≤2ｋπ＋7π／12，ｋ∈ｚ｝
ｃ．｛ｘ｜2ｋπ＋π／6≤ｘ≤2ｋπ＋5π／6，ｋ∈ｚ｝
ｄ．｛ｘ｜2ｋπ≤ｘ≤2ｋπ＋π／6，ｋ∈ｚ｝∪｛2ｋπ＋5π／6≤（2ｋ＋1）π，ｋ∈ｚ｝（1991年三南试题）
分析：当ｘ＝－π／12、ｘ＝π／6、ｘ＝0时，ｓｉｎ（ｘ－π／4）＜0，因此排除ｂ、ｃ、ｄ，故选ａ．
例2 不等式 ＋｜ｘ｜／ｘ≥0的解集是（）．
ａ．｛ｘ｜－2≤ｘ≤2｝
ｂ．｛ｘ｜－ ≤ｘ＜0或0＜ｘ≤2｝
ｃ．｛ｘ｜－2≤ｘ＜0或0＜ｘ≤2｝
ｄ．｛ｘ｜－ ≤ｘ＜0或0＜ｘ≤ ｝
分析：由ｘ＝－2不是原不等式的解排除ａ、ｃ，由ｘ＝2是原不等式的一个解排除ｄ，故选ｂ．
这两道题若按部就班地解来，例1是易错题，例2有一定的运算量．上面的解法省时省力，但似有“投机取巧”之嫌．选择题给出了三误一正的答案，这是问题情景的一部分．而且是重要的一部分．我们利用“等”与“不等”之间的内在联系，把目光投向解区间的端点，化繁为简，体现了具体问题具体解决的朴素思想，这种“投机取巧”正是抓住了问题的特征，体现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机智．在解不等式的解答题中，我们可以用这种方法来探索结果、验证结果或缩小探索的范围．
例3 解不等式ｌｏｇａ（1－1／ｘ）＞1．（1996年全国高考试题）
分析：原不等式相应的等式-方程ｌｏｇａ（1－1／ｘ）＝1的解为ｘ＝1／（1－ａ）（ａ≠1是隐含条件）．原不等式的定义域为（1，＋∞）∪（－∞，0）．当ｘ→＋
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